Integral tentu adalah salah satu konsep penting dalam matematika yang digunakan untuk menghitung luas di bawah kurva fungsi. Untuk memahami konsep ini dengan lebih baik, berikut adalah 10 contoh soal integral tentu beserta penyelesaiannya.
Contoh Soal 1
Diberikan fungsi f(x) = 2x, hitunglah integral tentu dari 0 hingga 3.
Penyelesaian:
Untuk menghitung integral tentu dari 0 hingga 3, kita perlu menggunakan rumus integral tentu sebagai berikut:
∫[a, b] f(x) dx = F(b) – F(a)
Dalam kasus ini, fungsi f(x) = 2x. Oleh karena itu, kita perlu mencari fungsi F(x) yang merupakan turunan dari f(x).
Dalam hal ini, F(x) = x^2. Maka, kita dapat menghitung integral tentu sebagai berikut:
∫[0, 3] 2x dx = [x^2] [0, 3] = 3^2 – 0^2 = 9
Jadi, integral tentu dari 0 hingga 3 dari fungsi f(x) = 2x adalah 9.
Contoh Soal 2
Diberikan fungsi f(x) = 3x^2, hitunglah integral tentu dari 1 hingga 4.
Penyelesaian:
Untuk menghitung integral tentu dari 1 hingga 4, kita perlu menggunakan rumus integral tentu sebagai berikut:
∫[a, b] f(x) dx = F(b) – F(a)
Dalam kasus ini, fungsi f(x) = 3x^2. Oleh karena itu, kita perlu mencari fungsi F(x) yang merupakan turunan dari f(x).
Dalam hal ini, F(x) = x^3. Maka, kita dapat menghitung integral tentu sebagai berikut:
∫[1, 4] 3x^2 dx = [x^3] [1, 4] = 4^3 – 1^3 = 64 – 1 = 63
Jadi, integral tentu dari 1 hingga 4 dari fungsi f(x) = 3x^2 adalah 63.
Contoh Soal 3
Diberikan fungsi f(x) = 1/x, hitunglah integral tentu dari 2 hingga 5.
Penyelesaian:
Untuk menghitung integral tentu dari 2 hingga 5, kita perlu menggunakan rumus integral tentu sebagai berikut:
∫[a, b] f(x) dx = F(b) – F(a)
Dalam kasus ini, fungsi f(x) = 1/x. Oleh karena itu, kita perlu mencari fungsi F(x) yang merupakan turunan dari f(x).
Dalam hal ini, F(x) = ln|x|. Maka, kita dapat menghitung integral tentu sebagai berikut:
∫[2, 5] 1/x dx = [ln|x|] [2, 5] = ln|5| – ln|2| = ln(5/2)
Jadi, integral tentu dari 2 hingga 5 dari fungsi f(x) = 1/x adalah ln(5/2).
Contoh Soal 4
Diberikan fungsi f(x) = sin(x), hitunglah integral tentu dari 0 hingga π.
Penyelesaian:
Untuk menghitung integral tentu dari 0 hingga π, kita perlu menggunakan rumus integral tentu sebagai berikut:
∫[a, b] f(x) dx = F(b) – F(a)
Dalam kasus ini, fungsi f(x) = sin(x). Oleh karena itu, kita perlu mencari fungsi F(x) yang merupakan turunan dari f(x).
Dalam hal ini, F(x) = -cos(x). Maka, kita dapat menghitung integral tentu sebagai berikut:
∫[0, π] sin(x) dx = [-cos(x)] [0, π] = -cos(π) – (-cos(0)) = 1 – (-1) = 2
Jadi, integral tentu dari 0 hingga π dari fungsi f(x) = sin(x) adalah 2.
Contoh Soal 5
Diberikan fungsi f(x) = e^x, hitunglah integral tentu dari 0 hingga 2.
Penyelesaian:
Untuk menghitung integral tentu dari 0 hingga 2, kita perlu menggunakan rumus integral tentu sebagai berikut:
∫[a, b] f(x) dx = F(b) – F(a)
Dalam kasus ini, fungsi f(x) = e^x. Oleh karena itu, kita perlu mencari fungsi F(x) yang merupakan turunan dari f(x).
Dalam hal ini, F(x) = e^x. Maka, kita dapat menghitung integral tentu sebagai berikut:
∫[0, 2] e^x dx = [e^x] [0, 2] = e^2 – e^0 = e^2 – 1
Jadi, integral tentu dari 0 hingga 2 dari fungsi f(x) = e^x adalah e^2 – 1.
Contoh Soal 6
Diberikan fungsi f(x) = cos(x), hitunglah integral tentu dari 0 hingga (π/2).
Penyelesaian:
Untuk menghitung integral tentu dari 0 hingga (π/2), kita perlu menggunakan rumus integral tentu sebagai berikut:
∫[a, b] f(x) dx = F(b) – F(a)
Dalam kasus ini, fungsi f(x) = cos(x). Oleh karena itu, kita perlu mencari fungsi F(x) yang merupakan turunan dari f(x).
Dalam hal ini, F(x) = sin(x). Maka, kita dapat menghitung integral tentu sebagai berikut:
∫[0, (π/2)] cos(x) dx = [sin(x)] [0, (π/2)] = sin(π/2) – sin(0) = 1 – 0 = 1
Jadi, integral tentu dari 0 hingga (π/2) dari fungsi f(x) = cos(x) adalah 1.
Contoh Soal 7
Diberikan fungsi f(x) = x^2 + 3x + 2, hitunglah integral tentu dari -2 hingga 1.
Penyelesaian:
Untuk menghitung integral tentu dari -2 hingga 1, kita perlu menggunakan rumus integral tentu sebagai berikut:
∫[a, b] f(x) dx = F(b) – F(a)
Dalam kasus ini, fungsi f(x) = x^2 + 3x + 2. Oleh karena itu, kita perlu mencari fungsi F(x) yang merupakan turunan dari f(x).
Dalam hal ini, F(x) = (1/3)x^3 + (3/2)x^2 + 2x. Maka, kita dapat menghitung integral tentu sebagai berikut:
∫[-2, 1] (x^2 + 3x + 2) dx = [(1/3)x^3 + (3/2)x^2 + 2x] [-2, 1]
Substitusikan nilai batas atas dan batas bawah ke dalam fungsi F(x):
= [(1/3)(1)^3 + (3/2)(1)^2 + 2(1)] – [(1/3)(-2)^3 + (3/2)(-2)^2 + 2(-2)]
= (1/3 + 3/2 + 2) – (-8/3 + 6 + (-4))
= 7/6 – (-8/3 + 6 – 4)
= 7/6 – (-8/3 + 2)
= 7/6 – (-8/3 + 6/3)
= 7/6 – (-2/3)
= 7/6 + 2/3
= (7 + 4)/6
= 11/6
Jadi, integral tentu dari -2 hingga 1 dari fungsi f(x) = x^2 + 3x + 2 adalah 11/6.
Contoh Soal 8
Diberikan fungsi f(x) = 4x^3 – 2x^2 + 5x – 3, hitunglah integral tentu dari -1 hingga 2.
Penyelesaian:
Untuk menghitung integral tentu dari -1 hingga 2, kita perlu menggunakan rumus integral tentu sebagai berikut:
∫[a, b] f(x) dx = F(b) – F(a)
Dalam kasus ini, fungsi f(x) = 4x^3 – 2x^2 + 5x – 3. Oleh karena itu, kita perlu mencari fungsi F(x) yang merupakan turunan dari f(x).
Dalam hal ini, F(x) = x^4/4 – (2/3)x^3 + (5/2)x^2 – 3x. Maka, kita dapat menghitung integral tentu sebagai berikut:
∫[-1, 2] (4x^3 – 2x^2 + 5x – 3) dx = [(x^4/4 – (2/3)x^3 + (5/2)x^2 – 3x)] [-1, 2]
Substitusikan nilai batas atas dan batas bawah ke dalam fungsi F(x):
= [((2)^4/4 – (2/3)(2)^3 + (5/2)(2)^2 – 3(2))] – [((-1)^4/4 – (2/3)(-1)^3 + (5/2)(-1)^2 – 3(-1))]
= [(16/4 – (2/3)(8) + (5/2)(4) – 6)] – [(1/4 – (2/3)(-1) + (5/2)(1) + 3)]
= [(16/4 – 16/3 + 20/2 – 6)] – [(1/4 + 2/3 + 5/2 + 3)]
= [(12/3 – 16/3 + 30/6 – 18/3)] – [(3/12 + 8/12 + 15/12 + 36/12)]
= [((12 – 16 + 30 – 18)/3)] – [(3 + 8 + 15 + 36)/12]
= [(8)/3] – [(62)/12]
= 8/3 – 31/6
Jadi, integral tentu dari -1 hingga 2 dari fungsi f(x) = 4x^3 – 2x^2 + 5x – 3 adalah 8/3 – 31/6.
Contoh Soal 9
Diberikan fungsi f(x) = √x, hitunglah integral tentu dari 0 hingga 4.
Penyelesaian:
Untuk menghitung integral tentu dari 0 hingga 4, kita perlu menggunakan rumus integral tentu sebagai berikut:
∫[a